线性回归方程公式

线性回归方程是用于描述自变量与因变量间线性关系的强大工具。根据其自变量的数量，线性回归可分为简单线性回归和多元线性回归两种形式。

一、简单线性回归（单一自变量）

方程形式为：y=b0+b1x其中，y是因变量的预测值，x是自变量，b0是截距（当x=0时的y值），b1是斜率（表示x对y的影响程度）。

参数的估计通过最小二乘法进行。斜率是通过对x和y的协方差除以x的方差来计算的。截距则是通过样本均值计算得出。公式如下：斜率 b1=Cov(x,y)Var(x)；截距 b0=¯yx¯ 其中，¯x 和 ¯y 分别为x和y的样本均值。

二、多元线性回归（多个自变量）

方程形式扩展为：y=b0+b1x1+b2x2+⋯+bnxn其中，x1, x2,…xn是自变量，b0是截距，b1, b2,…bn是各变量的系数。参数估计则通过矩阵形式进行。最小二乘法的解为：b=(XT X)-1 XT y 其中，X是设计矩阵（包含截距项），y是因变量向量，b是系数向量。值得注意的是，在应用多元线性回归时，假设误差项满足零均值、同方差、无自相关且与自变量无关。当自变量高度相关时（多重共线性），需要使用正则化方法或剔除冗余变量。该模型适用于变量间呈线性关系的数据建模。

举个例子，如果我们想用房屋的面积（x1）和房间数（x2）来预测房价（y），那么就会使用多元线性回归方程：y=b0+b1x1+b2x2其中参数 b0, b1, b2需要通过数据拟合来确定。这个模型可以帮助我们根据房屋的面积和房间数来预测房价，提供更为精确的房地产市场分析。线性回归是数据分析的重要工具，有助于我们深入理解变量之间的关系并进行预测。