点到空间直线的距离

向量叉积法及其应用

设有一条空间直线通过点\(A(x_0, y_0, z_0)\)，其方向向量为\(\vec{v} = (l, m, n)\)，而我们需要找到点\(P(x_1, y_1, z_1)\)到这条直线的距离。为此，我们可以使用向量叉积法，其公式如下：

\(d = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}\)

其中，\(\vec{AP} = (x_1 - x_0, y_1 - y_0, z_1 - z_0)\)表示点P到直线点A的向量。而\(\times\)表示向量叉积，\(|\vec{v}| = \sqrt{l^2 + m^2 + n^2}\)为方向向量的模长。

推导这一公式的过程如下：首先构造向量\(\vec{AP}\)；然后计算\(\vec{AP}\)与方向向量\(\vec{v}\)的叉积，其模长对应以两向量为邻边的平行四边形面积；接着，方向向量的模长对应平行四边形的底边长度；面积除以底边长度即为点到直线的距离。

除了向量叉积法，我们还可以使用平面交点法来求解。我们需要确定直线的方程，这通常表示为对称式方程。然后，构造一个过点P的平面，该平面与直线的方向向量垂直。接下来，联立直线方程和平面方程以求得它们的交点B。计算点P与交点B之间的距离，这就是点到直线的距离。

两种方法在最终的计算上等价，可以用以下公式统一表达：

\(d = \frac{\sqrt{[n(y_1 - y_0) - m(z_1 - z_0)]^2 + [l(z_1 - z_0) - n(x_1 - x_0)]^2 + [m(x_1 - x_0) - l(y_1 - y_0)]^2}}{\sqrt{l^2 + m^2 + n^2}}\)

其中分子为向量叉积的模长，分母为方向向量的模长。在实际应用中，我们可以根据具体情况选择使用哪种方法。向量叉积法更适合已知直线方向向量及直线上一点的情形，而平面交点法则更适合需要通过几何步骤直观理解的场景。这一知识点在几何、计算机图形学、机器人导航等领域有着广泛的应用。