复数的绝对值

复数的绝对值，又称为模，是描述复数在复平面上离原点的距离。对于形如 a + bi 的复数，其绝对值的计算公式为：|a + bi| = √(a^2 + b^2)。这一几何意义体现在复数的几何表示中，即复数在复平面上的坐标点与原点的距离。对于任何复数，其绝对值具有以下特性：

1. 非负性：任何复数的绝对值都是非负的，即 |a + bi| ≥ 0。这一性质保证了绝对值的可靠性。

2. 乘积的绝对值：两个复数相乘的绝对值等于它们各自绝对值相乘，即 |z1 · z2| = |z1| · |z2|。这一性质揭示了复数乘法与绝对值之间的内在联系。

3. 共轭复数的绝对值：复数与其共轭复数的绝对值相等，这一特性保证了共轭复数的绝对值是稳定的。复数还具有以下性质：三角不等式，满足 |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|；极坐标形式，复数可以表示为 r(cosθ + isinθ)，其中 r 为绝对值；绝对值平方等于复数与其共轭复数的乘积。这些性质共同构成了复数绝对值的基础理论。

在实际应用中，复数绝对值广泛应用于几何图形、极坐标形式以及欧拉公式等领域。例如，在几何图形中，复数绝对值可用于描述复平面上的圆；在极坐标形式中，复数 r(cosθ + isinθ) 的绝对值为 r；欧拉公式中的 e^(iθ) 的绝对值为 1。这些应用展示了复数绝对值在实际问题中的重要作用。

为了更好地理解这些概念，我们可以看一些例子。比如复数 3 + 4i 的绝对值为 √(3^2 + 4^2) = 5；纯实数 5 和纯虚数 3i 的绝对值分别为 5 和 3；复数 -3 - 4i 的绝对值为 √((-3)^2 + (-4)^2) = 5。这些例子有助于我们深入理解复数绝对值的计算方法和应用。

复数的绝对值，即模，是描述复数在复平面上离原点的距离。其计算公式为 |a + bi| = √(a^2 + b^2)，具有一系列性质和应用。这些知识和应用对于理解复数和数学领域具有重要意义。最终答案可以简洁地表示为：复数的绝对值，即模，为√(a^2 + b^2)。